貝氏定理|高中11年級|數學學院

觀念

貝氏定理把條件翻轉:已知 $P(B|A)$ 想求 $P(A|B)$ ,用 $P(A|B)=\dfrac{P(A)P(B|A)}{P(A)P(B|A)+P(A')P(B|A')}$ ;分母是「 $B$ 發生的所有途徑」相加。畫樹狀圖最不容易錯:先分原因(甲袋/乙袋、有病/沒病),再分結果。

例:盛行率 1%、敏感度 90%、偽陽率 5%: $P(\text{病}|\text{陽})=\dfrac{0.01\times0.9}{0.01\times0.9+0.99\times0.05}\approx15\%$ ——陽性大多是誤判,因為健康的人太多。

這是醫學檢驗解讀、垃圾郵件過濾與所有「由證據更新信念」的數學基礎。

某疾病盛行率為 $10\%$ 。檢驗對病人呈陽性的機率為 $90\%$ ,對健康者誤判為陽性的機率為 $2\%$ 。某人檢驗呈陽性,他真的有病的機率是多少?(最簡分數)

看解法與答案

貝氏定理: $P(\text{病}|\text{陽}) = \dfrac{P(\text{病})P(\text{陽}|\text{病})}{P(\text{病})P(\text{陽}|\text{病}) + P(\text{健康})P(\text{陽}|\text{健康})}$ 。

分子(有病且陽性): $\frac{1}{10} \times \frac{9}{10} = \frac{9}{100}$ 。

偽陽性(健康卻陽性): $\frac{9}{10} \times \frac{1}{50} = \frac{9}{500}$ ;分母 $= \frac{9}{100} + \frac{9}{500} = \frac{27}{250}$ 。

機率 $= \frac{9}{100} \div \frac{27}{250} = \frac{5}{6}$ 。(盛行率低時,陽性裡很多是誤判,所以這個值常比直覺小很多。)

答案:

\frac{5}{6}

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