廣義角與弧度|高中11年級|數學學院

觀念

把角看成「從正 $x$ 軸出發旋轉的量」,逆時針為正、順時針為負,可以超過 $360^\circ$ ;終邊相同的角叫同界角,相差 $360^\circ$ 的整數倍。弧度用「弧長 ÷ 半徑」量角, $180^\circ=\pi$ ,所以 $1^\circ=\dfrac{\pi}{180}$ ;用弧度時弧長 $s=r\theta$ 、扇形面積 $=\dfrac{1}{2}r^2\theta$ 都變得極簡。

例: $150^\circ=\dfrac{5\pi}{6}$ ; $-30^\circ$ 與 $330^\circ$ 同界;半徑 6、圓心角 $\dfrac{\pi}{3}$ 的弧長 $=2\pi$ 。

弧度是微積分裡三角函數的自然單位( $\sin x$ 的導數是 $\cos x$ 只在弧度下成立),也是圓周運動與波動的語言。

例題

把 $\frac{\pi}{4}$ 弧度化成度數(只填數字,不加 °)。

看解法與答案

$\pi$ 弧度 $= 180^\circ$ ,把 $\pi$ 換成 $180^\circ$ : $\frac{\pi}{4} = \frac{1}{4} \times 180^\circ$ 。

計算: $180 \div 4 = 45$ ,再乘 $1$ 得 $45^\circ$ 。

答案:

45

用在哪裡

電腦7200 轉的硬碟,碟片角速度是 $7200\times2\pi/60\approx754$ 弧度/秒。
交通腳踏車輪半徑 0.35 公尺,轉一圈前進 $2\pi\times0.35\approx2.2$ 公尺,用的是弧長 $s=r\theta$ 。
天文地球每小時自轉 15°,也就是 $\frac{\pi}{12}$ 弧度,所以經度每差 15° 時差 1 小時。

插畫

學習路徑

先學會

銳角三角比高中 10 年級

學完可以接著學

三角函數值高中 11 年級

互動練習在本機版

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