空間直線與平面

平面由「一個點 + 法向量 $\vec n=(a,b,c)$」決定:$\vec n\cdot(X-P)=0$ 展開就是 $ax+by+cz=d$。直線由「一個點 + 方向向量」決定,用參數式 $x=x_0+lt,\ y=y_0+mt,\ z=z_0+nt$ 表示。點到平面距離 $\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0-d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ 與平面上的點到直線距離同形;兩平面的夾角由法向量夾角 $\theta$ 決定(兩平面夾角為 $\theta$ 與 $180^\circ-\theta$);交線方向是兩法向量的外積。

例:直線代入平面解出 $t$ 就得交點;$(1,1,1)$ 到 $x+2y+2z=1$ 的距離 $=\dfrac{|1+2+2-1|}{3}=\dfrac{4}{3}$。

這是 3D 建模、碰撞偵測與線性方程組幾何意義(三平面交於一點)的基礎。