三角恆等式證明|高中11年級|數學學院

觀念

證恆等式不能「兩邊同時動」再看是否相等,標準寫法是從比較複雜的一邊出發,一路等號化到另一邊。

工具箱:平方關係 $\sin^2 x+\cos^2 x=1$ ; $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ ;和角公式 $\sin(x+y)$ 、 $\cos(x+y)$ ;二倍角 $\sin 2x=2\sin x\cos x$ 、 $\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x=1-2\sin^2 x=2\cos^2 x-1$ 。策略:全部改寫成 $\sin$ 、 $\cos$ ;看到 $2x$ 或 $3x$ 先拆角;有分母就注意不為 $0$ 的條件。

例: $(\sin x+\cos x)^2=\sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos^2 x=1+\sin 2x$ 。

例題

證明三角恆等式: $\cos^4 x-\sin^4 x=\cos 2x$ 。(用平方差、平方關係與二倍角公式,從左邊化到右邊)

看參考證明

平方差: $\cos^4 x-\sin^4 x=(\cos^2 x-\sin^2 x)(\cos^2 x+\sin^2 x)$ 。

平方關係:第二個因式 $\cos^2 x+\sin^2 x=1$ ,左邊 $=\cos^2 x-\sin^2 x$ 。

二倍角公式 $\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$ :左邊 $=\cos 2x=$ 右邊。

結論:

\cos^4 x-\sin^4 x=\cos 2x

成立

用在哪裡

物理交流電瞬時功率含 $\sin^2\omega t=\frac{1-\cos 2\omega t}{2}$ ,在純電阻電路(電壓電流同相)中,平均功率正好是瞬時功率峰值的一半。
通訊AM 收音機把兩個頻率相乘,積化和差把乘積拆成和頻與差頻兩個訊號,這就是混頻器的原理。

插畫

學習路徑

先學會

和差角與倍角公式高中 11 年級

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