遞增遞減與極值|高中12年級|數學學院

觀念

$f'>0$ 的區間函數遞增、 $f'<0$ 遞減; $f'=0$ (或導數不存在)的點叫臨界點,導數由正轉負是極大、由負轉正是極小(一階導數檢定)。閉區間上的最大最小值只會出現在端點或臨界點,全部算出來比較即可。

例: $f(x)=x^3-3x$ , $f'(x)=3(x-1)(x+1)$ ,在 $x=-1$ 極大值 2、 $x=1$ 極小值 $-2$ ;遞增區間 $x<-1$ 與 $x>1$ 。

這是所有最佳化問題(最大利潤、最小材料、最短時間)的標準解法。

設 $f(x) = x^{3}-27x+2$ ,求 $f(x)$ 的極大值。

看解法與答案

$f'(x) = 3x^{2}-27 = 3(x+3)(x-3)$ ,臨界點 $x = -3, 3$ 。

$f'(x)$ 是開口向上的二次式(首項係數 $3 > 0$ ),兩根外側為正、兩根之間為負: $f'$ 在 $x < -3$ 為正、 $-3 < x < 3$ 為負、 $x > 3$ 為正: $x = -3$ 處由增轉減是極大點。

極大值: $f(-3) = (-3)^{3} - 27(-3) + 2 = -27 + 81 + 2 = 56$ 。

答案:

56

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