旋轉體體積|高中12年級|數學學院

觀念

把曲線 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上繞 $x$ 軸旋轉,每個薄片是半徑 $f(x)$ 的圓盤,體積 $=\int_a^b\pi f(x)^2dx$ 。

例: $y=x$ 在 $[0,2]$ 繞 $x$ 軸得圓錐,體積 $=\int_0^2\pi x^2dx=\dfrac{8\pi}{3}$ ,與圓錐公式一致。

這是「切片相加」思想的體現,容器容量、零件體積都用它。

如圖,曲線 $y = \sqrt{x}$ ( $0 \le x \le 6$ )與 $x$ 軸之間的區域繞 $x$ 軸旋轉一圈,求旋轉體體積。答案含 $\pi$ (如 8pi/3)。

看解法與答案

半徑 $\sqrt{x}$ ,圓盤面積 $\pi(\sqrt{x})^2 = \pi x$ 。

$V = \displaystyle\int_0^{6} \pi x\,dx = \pi\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^{6}$ 。

代上下限: $\pi\left(\dfrac{6^2}{2} - 0\right) = \pi \cdot \dfrac{36}{2} = 18\pi$ 。

答案:

18 \pi

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