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垂直平分線與角平分線

國中 8 年級 · 空間與形狀

觀念

直覺:到兩個點距離相等的點,全部排在它們連線的垂直平分線上;在角的內部,到角的兩邊距離相等的點,全部排在角平分線上。這兩條線是「等距離」的集合。

規則:線段中垂線上任一點到兩端點等距(逆敘述也成立);角平分線上任一點到兩邊等距。等腰三角形頂角平分線、底邊中線、底邊的高三線合一。

算例: $P$ 在 $\overline{AB}$ 中垂線上且 $\overline{PA} = 5$ ,則 $\overline{PB} = 5$ 。

為什麼重要:三角形的外心(三中垂線交點)與內心(三角平分線交點)就是由這兩個性質推出來的。

例題

如圖, $\overrightarrow{OP}$ 平分 $\angle AOB$ , $\overline{PC} \perp \overrightarrow{OA}$ 於 $C$ 、 $\overline{PD} \perp \overrightarrow{OB}$ 於 $D$ 。若 $\overline{PC} = x+8$ 、 $\overline{PD} = 2x+4$ ,求 $P$ 到 $\overrightarrow{OA}$ 的距離。

看解法與答案

角平分線上的點到角的兩邊等距, $P$ 到兩邊的距離就是兩條垂線段: $\overline{PC} = \overline{PD}$ 。

$x+8 = 2x+4$ , $x = 4$ ,所以距離 $= \overline{PC} = 12$ 。

(理由: $\triangle OPC \cong \triangle OPD$ ,AAS——兩個直角、平分的兩個角相等、共用斜邊 $\overline{OP}$ 。)

答案:

12

用在哪裡

交通兩所學校之間設一個公車站,要讓兩校學生走一樣遠,站牌就放在兩校連線的垂直平分線上。
通訊手機會連到最近的基地台,兩座基地台服務範圍的分界線就是它們連線的垂直平分線。
藝術做相框時把 90° 轉角用角平分線均分,兩根木條各鋸 45° 斜角就能密合。

插畫

學習路徑

先學會

三角形全等性質國中 8 年級

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