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二次函數的最大最小值

國中 9 年級 · 函數

觀念

直覺:「怎麼圍最大的菜園」「定價多少營收最高」「球能拋多高」——只要目標量是某個變數的二次式,答案就在拋物線的頂點。

規則:用一個變數 $x$ 表示目標量 $y$ ,整理成 $ax^2 + bx + c$ ;頂點 $x = -\frac{b}{2a}$ ,代回得最值; $a < 0$ 是最大、 $a > 0$ 是最小。記得檢查 $x$ 的合理範圍。

算例: $h = -5t^2 + 20t$ , $t = 2$ 時最高 20 公尺。周長 40 的長方形,邊 10 時面積最大 100。

為什麼重要:這是最佳化問題的入門,經濟學的利潤最大化、工程的材料最省都是同一個模型。

用 $48$ 公尺長的圍籬靠著一面牆圍一塊長方形菜園(牆那邊不用圍,只圍三邊)。菜園面積最大是幾平方公尺?

看解法與答案

設垂直牆的邊 $x$ ,平行牆的邊 $48 - 2x$ ,面積 $A = x(48 - 2x) = -2x^2 + 48x$ 。

開口向下,頂點最大: $x = -\dfrac{48}{2 \times (-2)} = 12$ 公尺。

此時平行牆的邊 $48 - 2 \times 12 = 24$ 公尺,最大面積 $= 12 \times 24 = 288$ 平方公尺。

答案:

288

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