同態與核|大學三年級|數學學院

觀念

同態 (homomorphism) $\phi: G\to H$ 是保持運算的映射: $\phi(ab) = \phi(a)\phi(b)$ 。核 $\ker\phi = \{g\in G: \phi(g) = e_H\}$ ( $e_H$ 是 $H$ 的單位元)是正規子群,像 $\phi(G)$ 是 $H$ 的子群。第一同構定理: $G/\ker\phi\cong\phi(G)$ ——同態把群「壓扁」的程度完全由核決定。

例子: $\det: GL_n\to\mathbb{R}^*$ ,核是 $SL_n$ ; $\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}_n$ 取餘數,核是 $n\mathbb{Z}$ ;置換的符號 $S_n\to\{\pm1\}$ ,核是 $A_n$ 。同態與商群是理解群的結構、建構新群的核心工具。

例題

$\phi: \mathbb{Z}_{18}\to\mathbb{Z}_{18}$ , $\phi(x) = 4x \bmod 18$ 。像 $\phi(\mathbb{Z}_{18})$ 有幾個元素?

看解法與答案

$\phi(x+y) = 4(x+y) = \phi(x)+\phi(y)$ ,是同態。

核: $4x\equiv 0 \pmod{18}$ ⟺ $9\mid x$ (兩邊同除 $\gcd(4,18) = 2$ ),解是 $0, 9$ ,共 $2$ 個。

第一同構定理: $|\phi(G)| = \frac{18}{|\ker\phi|} = \frac{18}{2} = 9$ 。

答案:

9

用在哪裡

金融 $\ln$ 是從乘法群到加法群的同態:多期報酬連乘 $(1+r_1)(1+r_2)$ ,取對數後變成對數報酬相加。
密碼不加填充的教科書版 RSA 有乘法同態性 $E(a)E(b)\equiv E(ab)\pmod N$ ,同態加密讓雲端不必解密就能對資料做運算。

插畫

學習路徑

先學會

Lagrange 定理大三
置換群大三

互動練習在本機版

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