分部積分|大學一年級|數學學院

觀念

分部積分 (integration by parts) 是乘積法則的逆向: $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ 用於兩種不同類型函數相乘(多項式 × 指數、多項式 × 三角、含 $\ln$ 的)。

選擇口訣 LIATE:對數 (L)、反三角 (I)、代數多項式 (A)、三角 (T)、指數 (E)——排前面的當 $u$ (微分後變簡單),排後面的當 $dv$ (容易積分)。

算例: $\int xe^x dx$ , $u = x$ 、 $dv = e^xdx$ ,得 $xe^x - \int e^xdx = xe^x - e^x + C$ 。 $\int\ln x\,dx$ 的巧妙之處是取 $dv = dx$ :得 $x\ln x - x + C$ 。 $x^2e^x$ 要做兩次。

分部積分是 Gamma 函數、Laplace 轉換、Fourier 係數計算的核心工具,也是許多恆等式與不等式證明的手法。

例題

求 $\displaystyle\int x^3\ln x\,dx$ ( $x>0$ )(省略常數 $C$ )。

看解法與答案

分部積分公式: $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ 。 $\ln x$ 不好積分但微分很簡單,所以取 $u = \ln x$ 、 $dv = x^3\,dx$ 。

則 $du = \dfrac{dx}{x}$ 、 $v = \dfrac{x^{4}}{4}$ 。

套公式: $\dfrac{x^{4}\ln x}{4} - \int \dfrac{x^{4}}{4}\cdot\dfrac{1}{x}dx = \dfrac{x^{4}\ln x}{4} - \int \dfrac{x^3}{4}dx$ 。

剩下的積分: $\int \dfrac{x^3}{4}dx = \dfrac{x^{4}}{16}$ 。

結果: $\dfrac{x^{4}\ln x}{4} - \dfrac{x^{4}}{16} + C$ 。

答案:

\frac{x^{4} \ln{\left(x \right)}}{4} - \frac{x^{4}}{16}

用在哪裡

金融連續時間下債券的存續期間是 $\int t\,c(t)e^{-rt}dt$ 這類積分,時間乘折現因子正好用分部積分處理。
工程算鋸齒波的傅立葉係數要積 $\int t\sin(nt)\,dt$ ,每個諧波的強度都是靠分部積分得到。

插畫

講解影片

學習路徑

先學會

代換積分大一

學完可以接著學

一階線性方程大二

互動練習在本機版

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