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導數的定義

大一 · 微積分

觀念

xyP虛線:割線,h 越來越小紅線:切線,斜率 = f′(1)12312345O

導數 (derivative) 是「瞬時變化率」,定義為差商的極限:f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hf'(a) = \lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} 幾何上是割線斜率逼近切線斜率。

算例:f(x)=x2f(x) = x^2,(a+h)2−a2h=2ah+h2h=2a+h→2a\frac{(a+h)^2 - a^2}{h} = \frac{2ah + h^2}{h} = 2a + h \to 2a,所以 f′(a)=2af'(a) = 2a。對 1x\frac{1}{x} 要通分,對 x\sqrt{x} 要乘共軛——技巧跟極限計算一樣。

為什麼要會用定義算?因為所有微分公式(冪法則、乘積法則、sin⁡′=cos⁡\sin' = \cos)都是從這個極限推出來的;遇到分段函數的交界點,或 ∣x∣|x| 在 0 這種尖點,沒有公式可套,只能回到定義(左右導數)判斷可不可微。可微必連續,但連續不一定可微(∣x∣|x| 在 0 就是反例)。

例題

xyhP(-3, 20)Qy = x²−4x−1虛線:割線 PQ-5-4-3-2-110203040

設 f(x)=x2−4x−1f(x) = x^{2}-4x-1。用導數的定義 f′(p)=lim⁡h→0f(p+h)−f(p)hf'(p) = \displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(p+h)-f(p)}{h} 求 f′(−3)f'(-3)。

看解法與答案

f(−3+h)=(−3+h)2−4(−3+h)−1=h2−10h+20f(-3+h) = (-3+h)^2-4(-3+h)-1 = h^{2}-10h+20。

f(−3+h)−f(−3)=h2−10hf(-3+h) - f(-3) = h^{2}-10h,除以 hh 得 h−10h-10。

h→0h\to 0 時趨近 −10-10,所以 f′(−3)=−10f'(-3) = -10。(用公式 f′(x)=2x−4f'(x) = 2x-4 驗算也一樣。)

答案: −10-10

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