極值與反曲點

$f' > 0$ 遞增、$f' < 0$ 遞減,所以在定義域的內部,局部極值只會出現在 $f' = 0$ 或 $f'$ 不存在的點(臨界點,critical point);閉區間的端點要另外檢查。判斷是極大或極小:看 $f'$ 的變號(一階導數檢定),或看 $f''$ 的正負(二階導數檢定:$f''<0$ 凹口向下 → 極大)。

$f''$ 的正負決定凹向 (concavity);凹向改變的點叫反曲點 (inflection point):候選點是 $f''=0$ 或 $f''$ 不存在的點,再確認兩側 $f''$ 變號。

算例:$f = x^3 - 3x$,$f' = 3(x-1)(x+1)$,臨界點 $\pm1$;$f'' = 6x$,$f''(-1)<0$ 極大、$f''(1)>0$ 極小;$f''=0$ 在 $x=0$,是反曲點。

這就是最佳化的基礎:成本最小、利潤最大、梯度下降收斂到哪裡,全都在問臨界點;多變數版本用 Hessian 矩陣取代 $f''$。