參數式切線

參數曲線 (parametric curve) 用第三個變數描述位置:$x = x(t)$、$y = y(t)$,想像 $t$ 是時間、曲線是運動軌跡。切線斜率由鏈鎖法則得來:$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$$

水平切線:$\frac{dy}{dt} = 0$ 且 $\frac{dx}{dt}\ne0$;垂直切線:$\frac{dx}{dt} = 0$ 且 $\frac{dy}{dt}\ne0$。兩者同時為 0 是奇異點,要另外分析。

算例:$x = t^2$、$y = t^3 - 3t$。$\frac{dy}{dx} = \frac{3t^2-3}{2t}$;$t=\pm1$ 時水平切線,$t = 0$ 時垂直切線。橢圓 $x = a\cos t$、$y = b\sin t$ 的斜率是 $-\frac{b}{a}\cot t$。

參數式讓我們描述「不是函數」的曲線(圓、擺線、Bézier 曲線),速度向量 $(x', y')$ 就是切向量,弧長 $\int\sqrt{x'^2+y'^2}dt$;向量值函數、線積分、物理的運動學都從這裡出發。