留數定理|大學三年級|數學學院

觀念

函數在孤立奇點 $a$ 附近的 Laurent 展開 $\sum c_n(z-a)^n$ 中, $c_{-1}$ 叫留數 (residue)。留數定理: $f$ 在逆時針簡單閉曲線 $C$ 上及其內部,除了有限個孤立奇點(都不在 $C$ 上)以外解析,則 $\oint_C f\,dz = 2\pi i\sum\text{Res}$ (對 $C$ 內所有奇點加總)。簡單極點的留數 $\lim(z-a)f(z)$ , $\frac{p}{q}$ 型為 $\frac{p(a)}{q'(a)}$ 。

最實用的應用是算實積分: $\int_{-\infty}^\infty\frac{dx}{1+x^2} = \pi$ 、 $\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{a + \cos\theta}$ ( $|a|>1$ )、Fourier 與 Laplace 逆轉換,都靠把路徑閉合到複平面上數留數。

例題

如圖, $C$ : $|z -1| = 1$ ,逆時針一圈。求 $\displaystyle\oint_C \frac{-1}{(z -1)(z -3)}\,dz$ (答案可含 pi、i,如 3pii)。

看解法與答案

極點 $z = 1$ 、 $z = 3$ 。圓心 $1$ 、半徑 $1$ :在 $C$ 內的是 $z = 1$ (留數 $\frac{1}{2}$ ); $z = 3$ 在外面,不算。

$\operatorname{Res}_{z=1} = \lim_{z\to 1}(z -1)f(z) = \frac{-1}{z -3}\Big|_{z=1} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$ 。

留數定理: $\oint_C f\,dz = 2\pi i\sum\operatorname{Res} = 2\pi i\cdot \frac{1}{2} = i \pi$ 。

答案:

\pi i

用在哪裡

金融用 Fourier 反轉從特徵函數求選擇權價格時,被積函數在複平面有極點,常靠留數定理處理這些項。
工程 $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos x}{1+x^2}dx$ 用留數定理只要算一個極點,答案是 $\frac{\pi}{e}$ ,訊號頻譜計算常用這招。

插畫

學習路徑

先學會

Cauchy 積分公式大三
瑕積分大一

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