關係的性質|大學二年級|數學學院

觀念

集合 $A$ 上的關係 (relation) $R$ 是一堆有序對, $xRy$ 表示 $(x,y)\in R$ 。四個常考性質:自反 (reflexive) 每個 $xRx$ ;對稱 (symmetric) $xRy\Rightarrow yRx$ ;反對稱 (antisymmetric) $xRy$ 且 $yRx\Rightarrow x = y$ ;遞移 (transitive) $xRy, yRz\Rightarrow xRz$ 。

兩種重要組合:自反 + 對稱 + 遞移 = 等價關係 (equivalence relation),它把集合切成互不重疊的等價類,例如「模 3 同餘」把整數分成三類;自反 + 反對稱 + 遞移 = 偏序 (partial order),例如正整數上的整除、子集包含、實數上的 $\le$ ,給元素一個「層級」但不要求任兩個都可比。

算例:「 $|x-y|\le1$ 」對稱但不遞移(1~~2、2~~3 但 1 與 3 差 2);「 $x<y$ 」遞移但不自反。

等價關係是「分類」的數學化(商群、商空間都靠它),偏序是排程、相依關係、格 (lattice) 理論的基礎。

例題

關係 (relation):整數上 $x\,R\,y \iff |x - y| \le 5$ 。它屬於哪一類?

① 偏序(自反、反對稱、遞移)
② 遞移但不自反
③ 等價關係(自反、對稱、遞移)
④ 對稱但不遞移

看解法與答案

逐條檢查自反 (reflexive)、對稱 (symmetric)、反對稱 (antisymmetric)、遞移 (transitive)。

自反: $|x-x| = 0 \le 5$ ✓。對稱: $|x-y| = |y-x|$ ✓。遞移失敗: $0\,R\,5$ 、 $5\,R\,10$ ,但 $|0 - 10| = 10 > 5$ 。

所以選 ④「對稱但不遞移」。不是等價關係,因為不遞移。

答案: 對稱但不遞移

用在哪裡

金融偏好若不具遞移性(A 勝 B、B 勝 C,卻 C 勝 A),別人能讓你換一圈並每次收手續費,這叫錢幫浦論證。
資料把重複註冊的帳號歸成同一位客戶,「是同一人」必須是等價關係,自反、對稱、遞移缺一就會歸錯群。

插畫

學習路徑

先學會

集合運算與冪集大二

學完可以接著學

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