特徵向量|大學一年級|數學學院

觀念

求出特徵值 $\lambda$ 後, $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$ 的所有解構成 $A - \lambda I$ 的零核空間,叫特徵空間 (eigenspace),其中的非零向量就是特徵向量。因為解不唯一(任何非零倍數都是),通常取一個代表,例如讓某個非零分量為 1。

算例: $A = \begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}$ , $\lambda = 3$ : $(A - 3I) = \begin{bmatrix}-1&1\\1&-1\end{bmatrix}$ ,第一列 $-x + y = 0$ ,取 $\mathbf{v} = (1, 1)$ 。 $\lambda = 1$ : $x + y = 0$ , $\mathbf{v} = (1,-1)$ 。驗算 $A(1,1) = (3,3)$ 。

$2\times2$ 時只需用一列非零的方程(另一列必成比例)。不同特徵值的特徵向量線性獨立;實對稱矩陣中,不同特徵值的特徵向量還互相正交。

特徵向量是「變換的主軸」:PCA 的主成分、量子力學的本徵態、結構工程的振動模態都是特徵向量。

例題

已知 $\mathbf{v} = (1, \frac{1}{3})$ 是 $A = \begin{bmatrix} -1 & -3 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}$ 的特徵向量,求對應的特徵值 $\lambda$ 。

看解法與答案

特徵向量的定義: $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$ ,乘完方向不變只被伸縮。所以先算 $A\mathbf{v}$ 。

第一分量: $(-1)(1) + (-3)(\frac{1}{3}) = -2$ ;第二分量: $(0)(1) + (-2)(\frac{1}{3}) = -\frac{2}{3}$ 。

比較:第一分量 $-2 = -2\times 1$ ,第二分量也等於 $-2\times \frac{1}{3}$ ,所以 $\lambda = -2$ 。

答案:

-2

用在哪裡

金融殖利率曲線做 PCA,前三個特徵向量依序是整條平移、長短端反向、中段凸起,合計解釋九成以上的變動。
電腦Google 早期的 PageRank 是網頁連結矩陣對應特徵值 1 的特徵向量,每個分量代表一個網頁的重要度。

插畫

學習路徑

先學會

特徵值大一

學完可以接著學

對角化大一

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