矩陣乘法

矩陣乘法 (matrix multiplication) $(AB)_{ij} = \sum_k A_{ik}B_{kj}$:取 $A$ 的第 $i$ 列與 $B$ 的第 $j$ 行做內積。$A$ 是 $m\times n$、$B$ 是 $n\times p$ 才能乘(中間的 $n$ 要對上),結果是 $m\times p$。

算例:$\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2&1\\4&3\end{bmatrix}$;反過來乘會得到 $\begin{bmatrix}3&4\\1&2\end{bmatrix}$——矩陣乘法不交換。

為什麼這樣定義?因為矩陣代表線性變換,$AB$ 代表「先做 $B$ 再做 $A$」的合成;$A\mathbf{v}$ 是把 $A$ 的各行用 $\mathbf{v}$ 的分量做線性組合。這個觀點讓旋轉、投影、座標變換、神經網路的每一層都變成矩陣相乘。