向量空間與子空間|大學一年級|數學學院

觀念

向量空間 (vector space) 是「可以加、可以乘常數,且運算規則合理」的集合;除了 $\mathbb{R}^n$ ,多項式、矩陣、連續函數都是向量空間。子空間 (subspace) 是向量空間裡本身也是向量空間的子集,判定只需三條:含零向量、對加法封閉、對純量乘法封閉。

幾何直覺: $\mathbb{R}^3$ 的子空間只有原點、過原點的直線、過原點的平面、整個空間。在 $\mathbb{R}^2$ 中,不過原點的直線( $x+y=1$ )、右半平面( $x\ge0$ )、拋物線( $y = x^2$ )都不是——各自至少違反一條。

基底 (basis) 是「線性獨立且能生成整個空間」的向量組,基底的向量個數就是維度。 $\mathbb{R}^2$ 的任兩個不平行向量都是基底。

子空間語言統一了齊次方程組 $A\mathbf x = \mathbf 0$ 的解集合(零核)、矩陣的行空間、微分方程的解空間;抽象化之後才能談函數空間、Fourier 級數與量子力學的態空間。

例題

考慮下列集合: $S_1$ = $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x + 2y = 0\}$ ; $S_2$ = $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x + y = 1\}$ ; $S_3$ = $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x \ge 0\}$ ; $S_4$ = $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : y = x^2\}$ 。哪一個是子空間 (subspace)?

① $S_3$
② $S_4$
③ $S_1$
④ $S_2$

看解法與答案

子空間三條件:含零向量、對加法封閉、對純量乘法封閉。

$S_1$ = $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x + 2y = 0\}$ :通過原點的直線:零向量在裡面,兩個解相加、乘常數仍滿足 $x+2y=0$ 。所以選 ③。

其他集合都不是子空間: $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x \ge 0\}$ $(1,0)$ 乘 $-1$ 得 $(-1,0)$ 跑出去,對純量乘法不封閉; $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x + y = 1\}$ 不含零向量 $(0,0)$ 。

還有 $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : y = x^2\}$ $(1,1)$ 在裡面但 $2(1,1) = (2,2)$ 不在。

答案:

S_1

用在哪裡

投資5 檔 ETF 以任意實數權重(允許放空、槓桿)組合出的所有報酬構成一個子空間;新基金的報酬若落在其中,買它不會增加任何分散效果。
工程音訊處理把一段聲音看成函數空間裡的向量,傅立葉展開就是在這個無限維空間換一組基底座標。

插畫

學習路徑

先學會

秩與零核大一

學完可以接著學

線性獨立大一

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