機率公理與容斥

Kolmogorov 公理把機率變成數學:$P(\Omega) = 1$、$P(A)\ge0$、可數可加性(兩兩互斥的事件 $A_1, A_2, \dots$,聯集的機率等於各自機率的總和)。從這三條推出所有基本規則:$P(A^c) = 1 - P(A)$、$P(\emptyset) = 0$,以及加法法則(容斥):$$P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$$ 減掉交集是因為它被算了兩次;互斥 (mutually exclusive) 時交集是空集合、機率為 0,直接相加。

算例:$P(A) = 0.5$、$P(B) = 0.4$、$P(A\cap B) = 0.2$,則 $P(A\cup B) = 0.7$,「兩者都不發生」$= 0.3$。三事件版本:加三個、減三個兩兩交集、加回三者交集。

容斥原理在離散數學是計數工具(被 2 或 3 整除的數有幾個),在機率是計算「至少一個」的工具;「至少一次」常用餘事件 $1 - P(\text{都沒有})$ 更快。