貝氏定理

貝氏定理 (Bayes' theorem) 把「因果方向」反過來:知道 $P(\text{證據}\mid\text{假設})$,求 $P(\text{假設}\mid\text{證據})$。$$P(A\mid B) = \frac{P(B\mid A)P(A)}{P(B)},\quad P(B) = P(B\mid A)P(A) + P(B\mid A^c)P(A^c)$$ 分母是全機率公式,把所有路徑加起來。

經典算例:疾病盛行率 1%,檢驗敏感度 99%、特異度 95%。驗出陽性真的有病的機率 $= \frac{0.99\times0.01}{0.99\times0.01 + 0.05\times0.99} = \frac{0.0099}{0.0594}\approx17\%$——多數陽性是假陽性,因為沒病的人太多。這叫基本率謬誤 (base rate fallacy),醫師和法官都常犯。

貝氏觀點把機率視為「信念」,先驗 $P(A)$ 看到證據後更新成後驗 $P(A\mid B)$;垃圾郵件過濾、醫學診斷、機器學習的貝氏推論全是這個公式的反覆應用。