二項分布

二項分布 (binomial distribution) $\text{Bin}(n,p)$:$n$ 次獨立試驗、每次成功率 $p$,成功次數 $X$ 的分布 $$P(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$$ $\binom{n}{k}$ 數「哪幾次成功」的排法,後面是每種排法的機率。

$E[X] = np$、$\text{Var}(X) = np(1-p)$——因為 $X$ 是 $n$ 個獨立 Bernoulli(各期望 $p$、變異 $p(1-p)$)之和。

算例:投 4 次命中率 $\frac{1}{3}$,恰中 2 次 $= \binom{4}{2}(\frac{1}{3})^2(\frac{2}{3})^2 = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}$;至少一次 $= 1 - (\frac{2}{3})^4 = \frac{65}{81}$。

二項分布是品管抽樣、民調、A/B 測試的基本模型;$n$ 大時用常態近似(De Moivre–Laplace),$n$ 大 $p$ 小時用 Poisson 近似。