ε-δ 證極限

$\lim_{x\to a}f(x)=L$ 的定義:對任意 $\varepsilon>0$,存在 $\delta>0$,使 $0<|x-a|<\delta$ 時 $|f(x)-L|<\varepsilon$。

草稿:把 $|f(x)-L|$ 化成 $|x-a|$ 乘某因式,用常數 $M$ 控制因式(先限制 $|x-a|<1$ 再用三角不等式),得 $\delta=\min(1,\varepsilon/M)$。正式證明:給定 $\varepsilon$,寫出 $\delta$ 再驗證。常見漏洞是選出的 $\delta$ 依賴 $x$;$\delta$ 只能由 $\varepsilon$ 與常數決定,上面的 $\min(1,\varepsilon/M)$ 就沒有用到 $x$。

例:$\lim_{x\to 2}(3x+1)=7$。$|3x+1-7|=3|x-2|$,取 $\delta=\frac{\varepsilon}{3}$,則差 $<3\delta=\varepsilon$。