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開集與閉集

大四 · 拓樸

觀念

拓樸學研究「連續變形下不變的性質」,起點是把「開集」抽象化:一個拓樸是集合族,對任意聯集與有限交集封閉,含空集與全集。開集的補集叫閉集;一個集合可以既開又閉(整個空間)、或都不是( $[0,1)$ )。

在 $\mathbb{R}$ 中開集是開區間的聯集;連續函數的新定義是「開集的原像是開集」,完全不提距離與 $\varepsilon$ ——這讓連續性能推廣到沒有距離的空間(函數空間、代數簇)。內部、閉包、邊界、極限點都由開集定義。

在實數線 $\mathbb{R}$ (標準拓樸)上,集合 $S =$ $[1, \infty)$ 是哪一種?

看解法與答案

判斷法:「開」 ⟺ 每一點都有一個小開區間整個在 $S$ 裡;「閉」 ⟺ 補集是開集 ⟺ $S$ 包含它所有的極限點。

$[1, \infty)$ :補集 $(-\infty, 1)$ 是開集,所以閉;端點沒有鄰域在裡面,不開。

答案: 閉集

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