複數

為了讓 $x^2=-1$ 有解,引入 $i^2=-1$,複數 $a+bi$ 的四則運算就是「把 $i$ 當未知數展開,再用 $i^2=-1$ 化簡」。除法的技巧是分母乘共軛 $c-di$,讓分母變成實數 $c^2+d^2$。絕對值 $|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$ 是複數平面上到原點的距離。

例:$(2+3i)(1-i)=2-2i+3i-3i^2=5+i$;$\dfrac{1}{1+i}=\dfrac{1-i}{2}$;$i^{23}=i^3=-i$(四個一循環)。判別式為負的二次方程式有一對共軛虛根 $p\pm qi$。

複數讓每個 $n$ 次多項式恰有 $n$ 個根(代數基本定理),也是交流電路、訊號處理與旋轉幾何的自然語言。