複數極式與棣美弗|高中11年級|數學學院

觀念

複數 $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ 用「長度 + 角度」表示後,乘法變成「長度相乘、角度相加」,棣美弗定理 $z^n=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)$ 讓求高次方與 $n$ 次方根變得簡單。

例: $(1+i)^{10}=(\sqrt2)^{10}(\cos450^\circ+i\sin450^\circ)=32i$ 。

這把複數與旋轉、三角函數連在一起,是傅立葉分析與交流電相量的基礎。

計算 $\left[3(\cos 45^\circ + i\sin 45^\circ)\right] \cdot \left[2(\cos 90^\circ + i\sin 90^\circ)\right]$ ,結果寫成 $a + bi$ 的形式。

看解法與答案

極式相乘:長度相乘 $3 \times 2 = 6$ 、角度相加 $45^\circ + 90^\circ = 135^\circ$ 。

$= 6(\cos 135^\circ + i\sin 135^\circ) = - 3 \sqrt{2}+3 \sqrt{2}i$ 。

答案:

- 3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} i

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