多項式不等式|高中10年級|數學學院

觀念

解 $f(x)>0$ 的關鍵是「找零點、畫正負號表」。把 $f(x)$ 因式分解,零點把數線切成幾段,每跨過一個單根正負號就翻一次;最右邊一段的符號由首項係數決定。

例: $x^2-5x+6<0 \Rightarrow (x-2)(x-3)<0$ ,開口向上的拋物線在兩根之間為負,解為 $2<x<3$ 。三次式 $(x+1)(x-1)(x-3)>0$ 從右邊 $+$ 開始交替: $x>3$ 或 $-1<x<1$ 。

「二次式恆正」等價於開口向上且判別式 $<0$ ,這是後面求函數定義域、最佳化條件與極限存在性的常用判斷。

不等式 $x^{2}-9x+18 \ge 0$ 的解集合是?

看解法與答案

先因式分解:兩根要相加得 $9$ 、相乘得 $18$ ,是 $3$ 和 $6$ ,得 $x^{2}-9x+18 = (x-3)(x-6)$ ,兩根 $3, 6$ 。

首項係數為正,開口向上:兩根之間在 $x$ 軸下方,兩根外側(含根)不小於 0。

驗一點:取 $x = 2$ 代入: $(-1)(-4) = 4$ ,確實大於 0。

答案選 ⑤: $x \le 3$ 或 $x \ge 6$ 。選項「 $3 \le x \le 6$ 」是 $\le 0$ 的解,方向相反。

答案:

x \le 3

或

x \ge 6

商業利潤 $-2x^2+120x-1000>0$ 化成 $(x-10)(x-50)<0$ ,單價定在 10 到 50 元之間才會賺錢。
物理上拋球高度 $h=20t-5t^2$ 公尺,要 $h>15$ 就解 $t^2-4t+3<0$ ,得 $1<t<3$ ,第 1 秒到第 3 秒之間高度超過 15 公尺。
交通某車型煞車距離約 $0.0075v^2+0.2v$ 公尺,要停在 50 公尺內就解這個二次不等式,車速上限約 69 km/h。

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