極限

極限描述「越來越接近時的趨勢」。數列 $\dfrac{2n+1}{3n-5}$ 當 $n\to\infty$,分子分母同除以 $n$,常數除以 $n$ 都趨近 0,極限是 $\dfrac{2}{3}$;同次有理式在無限遠的極限就是最高次係數之比。函數極限 $\lim_{x\to a}f(x)$ 看的是 $x$ 靠近 $a$ 時 $f$ 的趨勢,不是 $f(a)$ 本身;遇到 $\dfrac{0}{0}$ 先因式分解約分,遇到含根號的 $\infty-\infty$ 用分子有理化。

例:$\lim_{x\to2}\dfrac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\to2}(x+2)=4$;$\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+6n}-n)=3$。左右極限不相等(如 $\dfrac{|x|}{x}$ 在 0)則極限不存在。

極限是微分(變化率的極限)與積分(和的極限)的共同定義,也是無窮級數收斂的判準。