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反證法

高中 10 年級 · 數與量

觀念

反證法:要證 $P$ ,先假設 $P$ 不成立,一路合法推論,推出和已知事實互相矛盾的結果,所以假設錯誤, $P$ 成立。

證「某數是無理數」時,假設它是有理數並寫成最簡分數 $\frac{a}{b}$ ( $\gcd(a,b)=1$ ),再推出 $a$ 、 $b$ 有公因數;或寫成 $\frac{m}{n}$ 後推出違反質因數分解唯一性的等式。常見漏洞是忘了寫「最簡」,矛盾就不成立。

例: $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$ 最簡,則 $a^2=2b^2$ 是偶數;奇數的平方是奇數,所以 $a$ 是偶數,設 $a=2c$ ,得 $b^2=2c^2$ ,同理 $b$ 也是偶數,與最簡矛盾,所以 $\sqrt{2}$ 是無理數。

用反證法證明: $\log_{11} 2$ 是無理數。

看參考證明

因 $2>1$ , $\log_{11} 2>0$ 。假設它是有理數,寫成 $\frac{m}{n}$ , $m、n$ 是正整數。

由對數定義: $11^{m/n}=2$ ,兩邊 $n$ 次方得 $11^m=2^n$ 。

左邊的質因數只有 $11$ ,右邊的質因數只有 $2$ ,而 $m,n\ge 1$ 。

一個正整數的質因數分解是唯一的, $11\ne 2$ ,所以 $11^m \ne 2^n$ ,矛盾。故 $\log_{11} 2$ 是無理數。

結論:

\log_{11} 2

是無理數

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