相關係數與迴歸直線

相關係數 $r$ 介於 $-1$ 與 $1$,描述兩變數「線性」關係的方向與強度;它用標準化資料計算,所以平移、正倍數縮放都不改變 $r$;只把其中一個變數乘負數 $r$ 會變號(兩個都乘負數則不變)。迴歸直線 $y=bx+a$ 是最貼近資料的直線:斜率 $b=r\dfrac{s_y}{s_x}$,且一定通過 $(\bar x,\bar y)$,由此可定截距 $a=\bar y-b\bar x$。

例:$r=0.8$、$s_x=2$、$s_y=5$ 則斜率 2;若 $\bar x=10,\bar y=30$,截距 $=10$,預測 $x=12$ 時 $y=34$。

相關不等於因果,但迴歸是預測與機器學習最基本的模型。