奇偶與整除的證明

要證明「對所有整數都成立」,不能只舉幾個例子,要用代數式代表任意整數:偶數寫成 $2k$、奇數寫成 $2k+1$,連續整數寫成 $n, n+1, n+2$。接著運算、整理,最後把結果寫成「$2\times$ 整數」或「$m\times$ 整數」的樣子。

常用的事實:連續兩個整數必有一個偶數;連續三個整數必有一個是 $3$ 的倍數;偶數乘任何整數仍是偶數。常見漏洞是只驗算 $n=1,2,3$ 就說成立,或忘了說明括號裡是整數。

例:證明兩個奇數的和是偶數。設兩奇數為 $2a+1$、$2b+1$,相加得 $2a+2b+2=2(a+b+1)$,$a+b+1$ 是整數,所以和是偶數。