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等比數列

國中 8 年級 · 代數

觀念

直覺:每次乘同一個數——細菌分裂、複利、紙對摺——就是等比數列。它長得比等差快得多,這就是「指數成長」。

規則:一般項 $a_n = a_1 r^{n-1}$ ;公比 = 後項 ÷ 前項; $a, x, b$ 成等比則 $x^2 = ab$ (等比中項)。

算例: $3, 6, 12, \ldots$ : $r = 2$ , $a_6 = 3 \times 2^5 = 96$ ; $2, x, 18$ 成等比且 $x > 0$ , $x = 6$ 。

為什麼重要:複利計算、人口與疫情模型、高中的指數函數與等比級數和,都是等比數列的延伸。

等比數列的前三項是 $3, 3/2, 3/4$ ,求公比(分數寫 a/b)。

看解法與答案

公比 = 後項 ÷ 前項,用第 2 項除以第 1 項: $r = \frac{3}{2} \div 3$ 。

分數除以整數 = 乘它的倒數: $\frac{3}{2} \times \dfrac{1}{3} = \frac{1}{2}$ ,約分到最簡。

驗算:第 3 項 ÷ 第 2 項 $= \frac{3}{4} \div \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$ ,一樣,公比是 $\frac{1}{2}$ 。

答案:

\frac{1}{2}

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