指數律|國中7年級|數學學院

觀念

直覺: $a^n$ 是 $n$ 個 $a$ 相乘。 $2^3 \times 2^4$ 就是 3 個 2 再接 4 個 2,共 7 個——不用真的算出 128 也能知道指數相加。

規則(底數 $a \ne 0$ ): $a^m \times a^n = a^{m+n}$ ; $a^m \div a^n = a^{m-n}$ ; $(a^m)^n = a^{mn}$ ; $(ab)^n = a^n b^n$ ; $a^0 = 1$ ; $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ 。注意 $(-2)^4 = 16$ 但 $-2^4 = -16$ ,括號決定底數是 $-2$ 還是 $2$ 。

算例: $(x^2)^3 \div x^4 = x^6 \div x^4 = x^2$ 。

為什麼重要:科學記號、多項式乘法、等比數列、高中的指數對數都靠這幾條規則;它們也是「化繁為簡」思維的第一課。

例題

化簡: $(x^{2})^{4}$ (填 x 的乘冪,如 x^5)

看解法與答案

看意思: $(x^{2})^{4}$ 是 $4$ 個 $x^{2}$ 相乘,同底相乘指數相加, $4$ 個 $2$ 相加就是 $2 \times 4$ 。

計算: $(x^{2})^{4} = x^{2 \times 4} = x^{8}$ 。

答案:

x^{8}

用在哪裡

電腦照電腦慣用的二進位算法,1 TB 是 $2^{40}$ 位元組、1 GB 是 $2^{30}$ ,相除 $2^{40} \div 2^{30} = 2^{10}$ ,1 TB 裝得下 1,024 個 GB。
生物細菌每 20 分鐘翻倍,1 小時變 $2^3$ 倍,2 小時就是 $(2^3)^2 = 2^6 = 64$ 倍,正是冪的乘方。
金融年報酬 10% 先抱 3 年再抱 2 年,總倍數 $1.1^3 \times 1.1^2 = 1.1^5 \approx 1.61$ ,同底相乘指數相加。

插畫

學習路徑

先學會

正負數四則運算國中 7 年級

學完可以接著學

科學記號國中 7 年級
乘法公式國中 8 年級
平方根與根式化簡國中 8 年級
等比數列國中 8 年級
分數指數與指數律高中 10 年級

互動練習在本機版

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