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圓與多邊形

國中 9 年級 · 空間與形狀

觀念

直覺:每個三角形都有唯一的外接圓與內切圓;正多邊形也同時有外接圓與內切圓,圓心重合。

規則:圓內接四邊形對角互補;圓外切四邊形對邊和相等;正 $n$ 邊形的中心角 $\frac{360°}{n}$ ,可切成 $n$ 個全等等腰三角形計算面積。

算例:邊長 2 的正六邊形可切成 6 個邊長 2 的正三角形,每個面積 $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 2^2 = \sqrt{3}$ ,總面積 $6\sqrt{3}$ 。

為什麼重要:連結圓、三角形的心與正多邊形,是幾何綜合題的常見場景。

如圖,正六邊形內接於半徑 $6$ 的圓 $O$ 。正六邊形的面積是多少?(用 sqrt 表示,如 6sqrt(3))

看解法與答案

從圓心連六個頂點,切成 6 個正三角形(中心角 $60°$ 、兩腰是半徑),邊長都是 $6$ 。

一個正三角形面積 $= \dfrac{\sqrt{3}}{4} \times 6^2 = 9\sqrt{3}$ 。

總面積 $= 6 \times 9\sqrt{3} = 54\sqrt{3}$ 。

答案:

54 \sqrt{3}

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