指對三角函數微分

超越函數的導數表是必背的:$(e^x)' = e^x$、$(\ln x)' = \frac{1}{x}$、$(a^x)' = a^x\ln a$、$(\sin x)' = \cos x$、$(\cos x)' = -\sin x$、$(\tan x)' = \sec^2 x$。

$e$ 之所以特別,正是因為 $e^x$ 微分後不變——它是唯一一個「變化率等於自身」的指數函數,這就是為什麼自然界的成長衰減、複利、放射衰變都用 $e$。$\ln$ 是它的反函數,導數 $\frac{1}{x}$ 填補了冪法則在 $n=-1$ 的空缺。

算例:$y = x^2 e^{3x}$,乘積 + 鏈鎖:$y' = 2xe^{3x} + 3x^2e^{3x} = (2x + 3x^2)e^{3x}$;$y = \ln(x^2+1)$:$y' = \frac{2x}{x^2+1}$。

後面的微分方程、泰勒級數、機率分布(常態、指數)全部建立在這幾條公式上。