不定積分基本型

不定積分 (indefinite integral) 是微分的反運算:找一個 $F$ 使 $F' = f$,寫成 $\int f\,dx = F(x) + C$。常數 $C$ 不能漏——所有反導函數彼此只差一個常數。

基本表:$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$($n\ne-1$)、$\int\frac{1}{x}dx = \ln|x|$、$\int e^x dx = e^x$、$\int\sin x\,dx = -\cos x$、$\int\cos x\,dx = \sin x$。根號與分母先改寫成冪:$\sqrt{x} = x^{1/2}$、$\frac{1}{x^2} = x^{-2}$。

算例:$\int(3x^2 + \frac{2}{x} - e^x)dx = x^3 + 2\ln|x| - e^x + C$。驗算方法永遠是:把答案微分回去。

積分比微分難得多——微分有機械式法則,積分需要辨識模式(代換、分部、部分分式)。這一節是所有積分技巧的詞彙表。