定積分與基本定理

定積分 $\int_a^b f(x)dx$ 是黎曼和的極限——把區間切細、矩形面積加總。直接算極限很痛苦,微積分基本定理 (fundamental theorem of calculus) 把它跟反導函數接起來:

• 第一部分:若 $f$ 在區間上連續,$F(x) = \int_a^x f(t)dt$ 可微且 $F'(x) = f(x)$(「積分再微分會還原」)。
• 第二部分:$\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$,$F$ 是任一反導函數(反導函數彼此只差一個常數,相減時就消掉了)。

算例:$\int_1^3 2x\,dx = [x^2]_1^3 = 9 - 1 = 8$;$\frac{d}{dx}\int_0^x\sin(t^2)dt = \sin(x^2)$,不必真的積出來。

這個定理是 17 世紀最重要的數學成果:它說「累積」與「變化率」互為逆運算,讓面積、位移、功、機率全部可以用反導函數算。