極坐標面積

極坐標 (polar coordinates) 用距離 $r$ 與角度 $\theta$ 描述點,曲線寫成 $r = f(\theta)$。曲線所圍面積不是 $\int y\,dx$,而是把區域切成無數個細扇形,每個面積 $\frac{1}{2}r^2d\theta$:$$A = \frac{1}{2}\int_\alpha^\beta r^2\,d\theta$$

算例:心臟線 $r = 1+\cos\theta$,$A = \frac{1}{2}\int_0^{2\pi}(1+\cos\theta)^2d\theta = \frac{1}{2}(2\pi + 0 + \pi) = \frac{3\pi}{2}$,用到 $\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta = \pi$。

最容易錯的是積分範圍:$r = \cos\theta$ 在 $\theta\in[0,\pi]$ 就畫完整個圓,積到 $2\pi$ 會算兩次;玫瑰線 $r = \cos(k\theta)$ 的花瓣數依 $k$ 奇偶而不同。

極坐標是處理圓對稱問題的自然語言:二重積分換極坐標、常態分布的 $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}dx = \sqrt\pi$ 證明、行星軌道方程都靠它。