隱函數微分

有些曲線不能(或不方便)寫成 $y = f(x)$,例如圓 $x^2+y^2 = 25$。隱函數微分 (implicit differentiation) 的做法是:把 $y$ 當成 $x$ 的函數,整條方程式對 $x$ 微分,遇到 $y$ 就用鏈鎖法則多乘一個 $y'$,最後解出 $y'$。

算例:$x^2 + y^2 = 25$ → $2x + 2yy' = 0$ → $y' = -\frac{x}{y}$。在點 $(3,4)$ 斜率 $-\frac{3}{4}$,確實垂直於半徑方向 $(3,4)$。含 $xy$ 的項要用乘積法則:$(xy)' = y + xy'$。

這個技巧讓我們不必解出 $y$ 就能求切線,也是反函數導數(如 $(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$)與相關變率問題的基礎。