相關變率

大一 · 微積分

觀念

相關變率 (related rates) 問題:幾個量彼此有幾何關係,其中一個隨時間變化的速率已知,求另一個的速率。步驟固定:(1) 寫下量與量的關係式;(2) 整條式子對時間 $t$ 微分(每個量都是 $t$ 的函數,用鏈鎖法則);(3) 代入當下的數值。

算例:梯長 5 公尺,底端以 1 m/s 滑離牆。 $x^2+y^2=25$ → $2xx'+2yy'=0$ 。當 $x=3$ 時 $y=4$ , $y' = -\frac{3\cdot1}{4} = -0.75$ m/s,頂端以 0.75 m/s 下滑。

關鍵是先微分再代數值——若先把 $x=3$ 代進去就變成常數,微分成 0 了。這類問題是隱函數微分的直接應用,也是物理裡速度、流量、角速度換算的原型。

一支 $15$ 公尺長的梯子靠在牆上,底端以每秒 $1$ 公尺的速率滑離牆面。當底端距牆 $9$ 公尺時,頂端沿牆下滑的速率是多少公尺/秒?(填正數)

看解法與答案

設底端距牆 $x$ 、頂端高 $y$ ,則 $x^2 + y^2 = 225$ 。對 $t$ 微分: $2x x' + 2y y' = 0$ 。

$x = 9$ 時 $y = 12$ ; $x' = 1$ ,得 $y' = -\dfrac{x x'}{y} = -\dfrac{9\cdot 1}{12} = -\frac{3}{4}$ 。

負號代表 $y$ 減少(下滑),速率為 $\frac{3}{4}$ 公尺/秒。

答案:

\frac{3}{4}

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