卡方檢定|大學二年級|數學學院

觀念

卡方檢定 (chi-square test) 處理類別資料:比較觀察次數 $O$ 與期望次數 $E$ ,統計量 $\chi^2 = \sum\frac{(O-E)^2}{E}$ 在 $H_0$ 下近似卡方分布:適合度檢定的自由度是類別數減 1( $k-1$ ,若從資料估了 $m$ 個參數再減 $m$ ), $r\times c$ 列聯表的獨立性檢定是 $(r-1)(c-1)$ 。

兩種用法:適合度檢定(骰子公不公正)與獨立性檢定(性別與偏好有無關聯)。期望次數太小(< 5)時近似不好:適合度檢定可合併類別或改用精確多項式檢定/模擬法, $2\times2$ 列聯表可用 Fisher 精確檢定。

例題

擲一顆骰子,檢驗它是否公正,共 60 次:

類別	1 點	2 點	3 點	4 點	5 點	6 點
觀察次數	7	4	10	15	10	14

以 $\alpha = 0.05$ 做卡方適合度檢定。卡方臨界值表( $\alpha = 0.05$ ): $df=1$ :3.841、 $df=2$ :5.991、 $df=3$ :7.815、 $df=4$ :9.488、 $df=5$ :11.070、 $df=6$ :12.592。結論是拒絕還是不拒絕「各類機率相等」?(填「拒絕」或「不拒絕」)

看解法與答案

每類期望次數 $E = \frac{60}{6} = 10$ ;公式 $\chi^2 = \sum\frac{(O-E)^2}{E}$ ,這裡每類分母都是 $10$ 。

各類 $O - E$ : $-3, -6, 0, 5, 0, 4$ ;平方和 $9 + 36 + 0 + 25 + 0 + 16 = 86$ 。

$\chi^2 = \frac{86}{10} \approx 8.6$ 。

自由度 $= 6 - 1 = 5$ ,臨界值 $11.070$ 。 $\chi^2 = 8.6$ < $11.070$ ,不拒絕 $H_0$ 。

答案: 不拒絕

用在哪裡

交易檢驗星期效應:把 5 年的上漲日按星期一到星期五分組做卡方檢定,看各天上漲次數的差異是否超出隨機。
生物孟德爾豌豆實驗得到紫花 705 株、白花 224 株,卡方適合度檢定判斷它與 3:1 的理論比例是否吻合。

插畫

學習路徑

先學會

z 檢定大二

互動練習在本機版

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