z 檢定

假設檢定 (hypothesis testing) 的邏輯是反證法:先假設 $H_0$(例如 $\mu = \mu_0$)為真,看觀察到的資料有多「不尋常」;太不尋常就拒絕 $H_0$。

$\sigma$ 已知、且母體常態或樣本數夠大時用 $z$ 檢定:$$z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$$ 衡量 $\bar{x}$ 離 $\mu_0$ 幾個標準誤。雙尾檢定在顯著水準 $\alpha = 0.05$ 下,$|z| > 1.96$ 就拒絕;也可算 $p$ 值(在 $H_0$ 下看到至少這麼極端的機率:右尾檢定 $1 - \Phi(z)$、左尾檢定 $\Phi(z)$、雙尾 $2[1 - \Phi(|z|)]$),$p < \alpha$ 拒絕。

算例:$\mu_0 = 100$、$\sigma = 10$、$n = 25$、$\bar{x} = 104$,$z = \frac{4}{2} = 2 > 1.96$,拒絕 $H_0$;$p = 2(1 - 0.9772) = 0.0456$。

型一錯誤(誤拒真 $H_0$)機率就是 $\alpha$;型二錯誤與檢定力是下一步。$t$ 檢定、卡方檢定、ANOVA 都是同一套「統計量 + 臨界值/$p$ 值」框架。