信賴區間與抽樣

從 $n$ 人的樣本得到比例 $\hat p$,母體比例的 95% 信賴區間約為 $\hat p\pm2\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}$:整個根號 $\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}$ 是標準誤,乘 2 是常態分布 95% 的範圍。「95%」描述的是方法:重複抽樣很多次,約 95% 的區間會包含真正的母體比例。誤差界與 $\sqrt n$ 成反比——樣本數 4 倍,誤差減半;$\hat p=0.5$ 時誤差界最大,約 $\dfrac{1}{\sqrt n}$。

例:1600 人中 320 人支持,$\hat p=0.2$,誤差界 $=2\sqrt{0.16/1600}=0.02$,區間 $[0.18,0.22]$。民調「誤差 $\pm3\%$」就是 $n\approx1100$。

信賴區間是從樣本推論母體的標準工具,是所有民調、臨床試驗與品管報告的核心。