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圓心角與圓周角

國中 9 年級 · 空間與形狀

觀念

直覺:站在圓心看一段弧,張開的角(圓心角)是站在圓周上看同一段弧(圓周角)的兩倍——只要站在這段弧以外的圓周上,站哪裡都一樣。

規則:圓周角 = 同弧圓心角的一半 = 所對弧度數的一半;同弧的圓周角都相等;直徑所對的圓周角是 $90°$ ;圓內接四邊形對角互補;弦切角 = 所夾弧的一半。

算例:圓心角 $100°$ 的弧,圓周角 $50°$ ; $\overline{AB}$ 是直徑、 $\angle ABC = 35°$ ,則 $\angle BAC = 55°$ 。

為什麼重要:圓的角度關係是幾何推理的重要素材,也是高中三角函數單位圓的幾何直覺來源。

$\overline{AB}$ 是圓 $O$ 的直徑, $C$ 在圓上, $\angle ABC = 56°$ ,求 $\angle BAC$ 。(只填數字)

看解法與答案

先找直角: $\overline{AB}$ 是直徑,直徑所對的圓周角是直角(半圓弧 $180°$ 的一半),所以 $\angle ACB = 90°$ 。

再用三角形內角和: $\angle BAC = 180° - 90° - 56° = 34°$ 。

答案:

34

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