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弦與弦心距

國中 9 年級 · 空間與形狀

觀念

直覺:從圓心向一條弦作垂線,會把弦剛好切成兩半;半徑、半弦、弦心距三者構成直角三角形,所以畢氏定理就能把它們互相換算。

規則: $r^2 = d^2 + (\frac{L}{2})^2$ ( $r$ 半徑、 $d$ 弦心距、 $L$ 弦長)。同圓(或等圓)中,弦愈長,弦心距愈短;弦心距相等 ⇔ 弦長相等。兩平行弦的距離:兩弦在圓心同側時,兩個弦心距相減;在圓心兩側時相加。

算例: $r = 5$ 、 $d = 3$ ,弦長 $= 2 \times 4 = 8$ 。

為什麼重要:它是「圓 + 畢氏定理」的標準組合,切線長、圓的方程式都用同一個三角形。

圓 $O$ 半徑 $29$ ,弦 $\overline{AB} = 42$ ,求弦心距(圓心到弦的距離)。

看解法與答案

圓心到弦的垂線平分弦,所以半弦 $= 42 \div 2 = 21$ ;半徑、半弦、弦心距構成直角三角形,半徑是斜邊。

畢氏定理:弦心距 $^2 = 29^2 - 21^2 = 841 - 441 = 400$ ,弦心距 $= \sqrt{400} = 20$ 。

答案:

20

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